01/09/2007 | por: Ricardo Oliveira
Matriuzes
Freqüentemente nos deparamos com conjuntos de números que são operados essencialmente da mesma maneira, isso sugere tratá-los em bloco. No que segue, procuraremos desenvolver essa idéia e descobrir como devemos realizar a mais importante operação com tais blocos, que é a chamada multiplicação matricial.
Chamamos de matriz a qualquer tabela retangular de números, ou outro tipo de objetos matemáticos que pretendemos operar em bloco, simultaneamente.
Exemplo 1 :
Uma locadora de automóveis tem duas lojas, L 1 e L 2. O cliente que locar um carro pode devolvê-lo em qualquer uma das lojas.
A locadora fez estatística que indica que 80% dos carros locados na loja L 1 são aí devolvidos, e que 60% dos alugados na loja L 2 são lá entregues.
Sendo x 0 , y 0 os percentuais de carros que hoje estão nas lojas L 1 e L 2 , deseja-se saber os percentuais x 1 e y 1 de carros que estarão nessas lojas no dia de amanhã.
Solução:
É fácil ver que:
x 1 = carros vindos da própria L 1 + carros vindos da L 2 = 0.80 x 0 + 0.40 y 0
y 1 = carros vindos da L 1 + carros vindos da própria L 2 = 0.20 x 0 + 0.60 y 0
Os cálculos para determinar x 1 e y 1 são muito parecidos, o que sugere dar-lhes um tratamento simultâneo, matricial. Para isso, é fácil ver que basta dispô-los em quadros ou tabelas, como abaixo, de modo a termos um quadro, tabela ou matriz de percentagens "multiplicando" a tabela ou matriz das quantidades atuais de carros nas lojas:
x 1 = 0.80 0.40 . x 0
y 1 0.20 0.60 y 0
O interesse da noção de matriz resume-se a propiciar uma disposição mais limpa do cálculo ? Não! Há muito mais do que isso. Por exemplo, podemos combinar o que fizemos acima, na passagem hoje - > amanhã, com o que podemos semelhantemente fazer com a passagem amanhã - > depois de amanhã, e assim expressar a distribuição dos carros daqui há dois dias em termos da distribuição atual .
Vejamos como! Indicando por P a matriz das percentagens, e c n a matriz coluna que dá as quantidades x n e y n de carros, em L 1 e L 2 respectivamente, no dia n, vimos que d 1 = P d 0, e analogamente vé-se que d 2 = P d 1.
De modo que: d 2 = P d 1 = P ( P d 0 ) .
O cálculo acima ficaria ainda mais elegante, se pudéssemos apagar os parêntesis e então poder escrever:
d 2 = P d 1 = P ( P d 0 ) = P P d 0 = P 2 d 0 .
Para ver que isso é possível e para descobrir como fazé-lo, basta observar que:
x 2 = 0.8 x 1 + 0.4 y 1 = 0.8 [ 0.8 x 0 + 0.4 y 0 ] + 0.4 [ 0.2 x 0 + 0.6 y 0 ]
y 2 = 0.2 x 1 + 0.6 y 1 = 0.2 [ 0.8 x 0 + 0.4 y 0 ] + 0.6 [ 0.2 x 0 + 0.6 y 0 ]
ou seja:
x 2 = [ 0.8*0.8 + 0.4*0.2 ] x 0 + [ 0.8*0.4 + 0.4*0.6 ] y 0
y 2 = [ 0.2*0.8 + 0.6*0.2 ] x 0 + [ 0.2*0.4 + 0.6*0.6 ] y 0
de modo que:
x 2 = 0.8*0.8 + 0.4*0.2 0.8*0.4 + 0.4*0.6 . x 0
y 2 0.2*0.8 + 0.6*0.2 0.2*0.4 + 0.6*0.6 y 0
Assim vemos que, examinando as duas maneiras de escrevermos d 2 em termos de d 0, vemos que temos de definir o produto de duas matrizes da seguinte forma:
a b a' b' = aa' + bc' ab' + bd'
c d c' d' ca' + dc' cb' + dd'
É imediato generalizar essa definição para o caso de duas matrizes quadradas e tamanho ( igual ) qualquer, sempre usando a chamada Regra LICO para formar os elementos da matriz produto: multiplica-se cada LInha da matriz da esquerda por cada COluna da matriz da direita.
É também imediato vermos que essa noção de produto aplica-se à matrizes não-quadradas, DESDE que o tamanho das linhas da matriz da esquerda seja igual ao tamanho das colunas da matriz da direita.
Mas, continuemos a mostrar as vantagens de trabalhar matricialmente.
Agora, podemos expressar facilmente a quantidade de carros nas lojas em qualquer dia. Por exemplo:
Daqui a uma semana teremos uma distribuição de carros d 7 que é dada por d 7 = P 7 d 0 = P P P P P P P d 0 .
Se a companhia tiver, daqui a uma semana, uma distribuição de carros d * então pode garantir que no feriado, que ocorrerá um mês depois, terá:
d 37 = P 30 d * .
Mais importante, vejamos se a longo prazo, após muito tempo de funcionamento da locadora, a distribuição dos carros se estabiliza. Se isso ocorrer, então, para n grande, os valores de d n e d n+1 serão praticamente iguais. Sendo d essa distribuição comum, teremos:
d = P d
de modo que, sendo x e y as componentes de d, temos as seguintes três equações:
x = 0.80 x + 0.40 y
y = 0.20 x + 0.60 y
x + y = 1 ( ou seja: 100 % ).
É fácil resolvê-las, achando-se: x = 1 / 3 , y = 2 / 3 , ou seja:
a longo prazo:
33.3 % dos carros estarão na loja L 1
66.6 % dos carros estarão na loja L 2
1.- Curiosidades em torno do nome matriz
O pai do nome matriz
Foi só há pouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram sua importância detectada e sairam da sombra dos determinantes. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy, 1826 : tableau ( = tabela ).
O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Seu amigo Cayley, com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices, 1858, divulgou esse nome e iniciou a demonstrar sua utilidade.
Por que Sylvester deu o nome matriz às matrizes ?
Usou o significado coloquial da palavra matriz, qual seja: local onde algo se gera ou cria. Com efeito, via-as como "...um bloco retangular de termos... o que não representa um determinante, mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar varios sistemas de determinantes, ao fixar um número p e escolhar à vontade p linhas e p colunas..." ( artigo publicado na Philosophical Magazine de 1850, pag 363-370 ).
Observe que Sylvester ainda via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes. É só com Cayley que elas passam a ter vida própria e gradativamente começam a suplantar os determinantes em importância.
2.- Surgimento dos primeiros resultados da Teoria das Matrizes
Costuma-se dizer que um primeiro curso de Teoria das Matrizes - ou de sua versão mais abstrata, a Algebra Linear - deve ir no mínimo até o Teorema Espectral. Pois bem, esse teorema e toda uma série de resultados auxiliares já eram conhecidos antes de Cayley iniciar a estudar as matrizes como uma classe notável de objetos matemáticos.
Como se explica isso? Esses resultados, bem como a maioria dos resultados básicos da Teoria da Matrizes, foram descobertos quando os matemáticos dos séculos XVIII e XIX passaram a investigar a Teoria das Formas Quadráticas. Hoje, consideramos imprescindível estudar essas formas através da notacão e metodologia matricial, mas naquela época elas eram tratadas escalarmente.
Mostremos aqui a representação de uma forma quadrática de duas variáveis, tanto via notação escalar como com a mais moderna notação matricial:
q( x , y ) = a x 2 + 2b x y + c y 2 = x y . a b . x
b c y
O primeiro uso implícito da noção de matriz ocorreu quando Lagrange c. 1790 reduziu a caracterização dos máximos e mínimos, de uma função real de várias variáveis, ao estudo do sinal da forma quadrática associada à matriz das segundas derivadas dessa função. Sempre trabalhando escalarmente, ele chegou à uma conclusão que hoje expressamos em termos de matriz positiva definida. Após Lagrange, já no século XIX, a Teoria das Formas Quadráticas chegou a ser um dos assuntos mais importantes em termos de pesquisas, principalmente no que toca ao estudo de seus invariantes. Essas investigações tiveram como subproduto a descoberta de uma grande quantidade de resultados e conceitos básicos de matrizes.
Assim que podemos dizer que a Teoria das Matrizes teve como mãe a Teoria das Formas Quadráticas, pois que seus métodos e resultados básicos foram lá gerados. Hoje, contudo, o estudo das formas quadráticas é um mero capítulo da Teoria das Matrizes.
Observemos, ademais, que os determinantes em nada contribuiram para o desenvolvimento da Teoria das Matrizes.
1.- A idéia de transformação
Movimentos e deformações no plano
transformam cada ponto ( x , y ) de uma figura plana num ponto ( x' , y' ) através de expressão analítica da forma:
x ' = f ( x , y )
y ' = g ( x , y )
Vejamos dois exemplos iniciais:
a TR1 dada por x' = x , y' = 2x + y
e
a TR2 dada por x' = x 2 , y' = 2x + y .
Para facilitar a visuzalização do efeito geométrico dessas transformações, calculemos os ( x' , y' ) correspondentes a alguns ( x , y ) estrategicamente escolhidos:
TR1 TR2
( x , y ) ( x' , y' ) ( x , y ) ( x' , y' )
( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 )
( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 )
( 0 , 2 ) ( 0 , 2 ) ( 0 , 2 ) ( 0 , 2 )
( 1 , 0 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 0 ) ( 1 , 2 )
( 1 , 1 ) ( 1 , 3 ) ( 1 , 1 ) ( 1 , 3 )
( 1 , 2 ) ( 1 , 4 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 4 )
( 2 , 0 ) ( 2 , 4 ) ( 2 , 0 ) ( 4 , 4 )
( 2 , 1 ) ( 2 , 5 ) ( 2 , 1 ) ( 4 , 5 )
( 2 , 2 ) ( 2 , 6 ) ( 2 , 2 ) ( 4 , 6 )
Compare as transformações nas figuras abaixo:
TR 1
TR 2
Observe que a TR1 preserva retilinearidade e proporcionalidade, o que não ocorre com a TR2. Outra diferença, que será muito importante a seguir, é que a TR1 pode ser representada matricialmente e a TR2 não. Com efeito, é imediato ver que qualquer transformação da forma:
x ' = u + ax + by
y ' = v + cx + dy
