Trabalho Nota 10!

A função exponencial natural é a função exp:R-->R+, definida como a inversa da função logarítmo natural, isto é:

Ln(exp(x)) = x, exp(Ln(x)) = x

O gráfico da função exponencial é obtido pela reflexão do gráfico da função Logaritmo natural em relação à identidade dada pela reta y=x. Como o domínio da função Logaritmo natural é o conjunto dos números reais positivos, então a imagem da função exp é o conjunto dos números reais positivos e como a imagem de Ln é o conjunto R de todos os números reais, então o domínio de exp também é o conjunto R de todos os números reais.

Observação: Através do gráfico de y=exp(x), notamos que:

exp(x)>0 (x em R)

0 < exp(x) < 1 se x<0

exp(x)=1 se x=0

exp(x)>1 se x>0

No Ensino Médio, define-se a função exponencial a partir da função logarítmica e ciclicamente define-se a função logarítmica em função da exponencial como:

y = exp(x) <=> x = Ln(y)

Para uma definição mais cuidadosa, veja Logaritmos.

Exemplos:

Ln(exp(5)) = 5

exp(ln(5)) = 5

Ln exp((x+1)1/2)=(x+1)1/2

exp(Ln((x+1)1/2)= (x+1)1/2

exp(3 Ln x) = exp(Ln x3)= x3

exp(k Ln x) = exp(Ln xk)= xk

exp(7(Ln(3)-Ln(4)) = exp(7(Ln(3/4))) = exp(Ln(3/4)7) = (3/4)7

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A Constante e de Euler

Existe uma importantíssima constante matemática definida por

e = exp(1)

O número e é um número irracional e positivo e em função da definição da função exponencial, temos que:

Ln(e) = 1

Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.

O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é:

e = 2,718281828459045235360287471352662497757

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Conexão entre o número e e a função exponencial

Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de base e com expoente x, isto é:

ex = exp(x)

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Interpretação geométrica de e

Se tomarmos um ponto v do eixo OX, com v>1 tal que a área da região do primeiro quadrante localizada sob a curva y=1/x e entre as retas x=1 e x=v seja unitária, então o valor de v será igual a e.

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Propriedades básicas da função exponencial

Se x e y são dois números reais quaisquer e k é um número racional, então:

y = ex se, e somente se, x = Ln(y)

eLn(y) = y para y>0

Ln(ex) =x

ex+y = exey

ex-y = ex/ ey

ex.k = (ex)k

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Simplificações matemáticas

Podemos simplificar algumas expressões matemáticas com as propriedades das funções exponenciais e logaritmos:

eLn(3) = 3

e2+5 ln2 = e2 e5.Ln(2) = e2eLn(25) = e2 25= 32 e2

Ln(e20x) = 20x

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Outras funções exponenciais

Podemos definir outras funções exponenciais dadas por g(x)=ax, onde a são números positivos diferentes de 1 e x é um número real.

Primeiramente, consideremos o caso onde o expoente é um número racional r.

Pondo x=ar na equação x=exp(Ln(x)), teremos:

ar=exp(Ln(ar))

mas como Ln(ar) = r Ln(a), a relação anterior fica:

ar = exp[r Ln(a)]

Esta última expressão, juntamente com a informação que todo número real pode ser escrito como limite de uma sequência de números racionais, justifica a definição para g(x)=ax, onde x é um número real:

ax = exp[x Ln(a)]

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Leis dos expoentes

Se x e y são números reais e a e b são números reais positivos, então:

ax ay= ax + y

ax / ay= ax - y

(ax) y= ax.y

(a b)x = ax bx

(a / b)x = ax / bx

a-x = 1 / ax

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Relação de Euler

Seja i a unidade imaginária e x real. Vale a relação:

eix = exp(ix) = cos(x) + i sen(x)

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Algumas Aplicações

Funções exponenciais desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras. Vamos apresentar alguns exemplos com aplicações destas funções:

Lei do resfriamento dos corpos Curvas de aprendizagem

Desintegração radioativa Crescimento populacional

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Lei do resfriamento dos corpos

Um indivíduo foi encontrado morto em uma sala com temperatura ambiente constante. O legista tomou a temperatura do corpo às 21:00 h e constatou que a mesma era de 32 graus Celsius. Uma hora depois voltou ao local e tomou novamente a temperatura do corpo e constatou que a mesma estava a 30 graus Celsius. Aproximadamente a que horas morreu o indivíduo, sabendo-se que a temperatura média de um corpo humano normal é de 37 graus Celsius? Partindo de estudos matemáticos pode-se construir uma função exponencial decrescente que passa pelos pontos (21,32) e (22,30) onde abscissas representam o tempo e as ordenadas a temperatura do corpo.

Como a curva que descreve este fenômeno é uma função exponencial da forma:

f(t) = C eA t

então obtemos que:

Assim temos que o quadrado da soma de dois termos x e y, é a soma do quadrado do primeiro termo com o quadrado do segundo termo e com o dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo. Em resumo:

(x+y)2 = x2 + 2xy + y2

Exemplos:

(x + 8)2 = x2 + 2.x.8 + 82 = x2 + 16x + 64

(3k + y)2 = (3k)2 + 2.3k.y + y2 = 9k2 + 6ky + y2

(2x/5 + 1)2 = (2x/5)2 +2.(2x/5).1 + 12 = 4x2/25 + 4x/5 + 1

Exercícios: Desenvolver as expressões algébricas.

(a + 8)2 =

(4y + 2)2 =

(9k/8 + 3)2 =

Pensando um pouco:

Se (x + 7)2 = x2 + [ ] + 49, qual é o termo que deve ser colocado no lugar de [ ]?

Se (5a + [ ])2 = 25a2 + 30a + [ ], quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [ ]?

Se ([ ] + 9)2 = x2 + [ ] + 81, quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [ ]?

Se (4b + [ ])2 = l6b2 + 36b + [ ], substitua os [ ] por algo coerente.

Se (c + 8)2 = c2 + [?] + [??], substitua os [ ] por algo coerente.

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Quadrado da diferença de dois termos

Como um caso particular da situação anterior, o quadrado da diferença de x e y é igual ao quadrado de x somado com o quadrado de y menos duas vezes xy. Resumindo:

(x-y)2 = x2 - 2xy + y2

Exemplos:

(x - 4)2 = x2 - 2.x.4 + 42 = x2 - 8x + 16

(9 - k)2 = 92 - 2.9.k + k2 = 81 - 18k + k2

(2/y - x)2 = (2/y)2 - 2.(2/y).x + x2

Exercícios: Complete o que falta.

(5x - 9)2 =

(k - 6s)2 =

(p - [ ])2 = p2 - 10p + [ ]

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Produto da soma pela diferença de dois termos

Vamos utilizar o mesmo algoritmo já usado para o produto da soma de dois termos.

x + y

X x - y

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-xy - y2

x2 + xy

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x2 - y2

Compare

as

operações 10 + 3

X 10 - 3

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12r=ln(3)

assim:

r=ln(3)/12=0,0915510

Assim:

N(48)=200 e48.(0,0915510)= 16200 bactérias

Então, após 36 horas da útima contagem ou seja, 48 horas do início da contagem, haverá 16200 bactérias

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Desintegração radioativa

Os princípios da radioatividade foram desenvolvidos no início do século por Rutherford e outros. Alguns átomos são naturalmente instáveis, de tal modo que após algum tempo, sem qualquer influência externa sofrem transições para um átomo de um novo elemento químico e durante esta transição eles emitem radiações. Rutherford formulou um modelo para descrever o modo no qual a radioatividade decai. Se N=N(t) representa o número de átomos da substância radioativa no instante t, No o número de átomos no instante t=0 e k é uma constante positiva chamada de constante de decaimento, então:

N(t) = No e-k.t

esta constante de decaimento k, tem valores diferentes para substâncias diferentes, constantes que são obtidas experimentalmente.

Na prática usamos uma outra constante T, denominada meia vida do elemento químico, que é o tempo necessário para que a quantidade de átom