31/08/2007 | por: Ricardo Oliveira
Expressões algébricas
Equações do tipo ax2+c=0
Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o termo constante para o segundo membro para obter:
x2 = -c/a
Se –c/a for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais.
Se –c/a for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) mas de sinais contrários.
Equações do tipo ax2+bx=0
Neste caso, fatoramos a equação para obter:
x (ax + b) = 0
e a equação terá duas raízes:
x' = 0
ou
x" = -b/a
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Exemplos gerais
A equação 4x2=0 tem duas raízes nulas.
A equação 4x2-8=0 tem duas raízes: x'=R[2], x"=-R[2]
A equação 4x2+5=0 não tem raízes reais.
A equação 4x2-12x=0 tem duas raízes reais: x'=3, x"=0
Exercícios: Resolver as equações incompletas do segundo grau.
x2 + 6x = 0
2 x2 = 0
3 x2 + 7 = 0
2 x2 + 5 = 0
10 x2 = 0
9 x2 - 18 = 0
Expressão algébrica Objeto matemático Figura
A = b x h Área do retângulo
A = b x h / 2 Área do triângulo
P = 4 a Perímetro do quadrado
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Elementos históricos
Na Antiguidade, as letras foram pouco usadas na representação de números e relações. De acordo com fontes históricas, os gregos Euclides e Aristóteles (322-384 a.C), usaram as letras para representar números. A partir do século XIII o matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci), que escreveu o livro sobre Liber Abacci (o livro do ábaco) sobre a arte de calcular, observamos alguns cálculos algébricos.
O grande uso de letras para resumir mais racionalmente o cálculo algébrico passou a ser estudado pelo matemático alemão Stifel (1486-1567), pelos matemáticos italianos Germano (1501-1576) e Bombelli (autor de Álgebra publicada em 1572), porém, foi com o matemático francês François Viéte (1540-1603), que introduziu o uso ordenado de letras nas analogias matemáticas, quando desenvolveu o estudo do cálculo algébrico.
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Expressões Numéricas
São expressões matemáticas que envolvem operações com números.
Exemplos
a = 7 + 5 + 4
b = 5 + 20 - 87
c = (6 + 8) - 10
d = (5 x 4) + 15
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Expressões algébricas
São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais.
Exemplos
A = 2a + 7b
B = (3c + 4) - 5
C = 23c + 4
As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor numérico.
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Prioridade das operações numa expressão algébrica
Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:
Potenciação ou Radiciação
Multiplicação ou Divisão
Adição ou Subtração
Observações:
Antes de cada uma das três operações citadas anteriormente, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.
A multiplicação pode ser indicada por x ou por um ponto . ou às vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão.
Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos.
Exemplos:
Consideremos P=2A+10 e tomemos A=5. Assim
P = 2(5) + 10
P = 10 + 10
P = 20
Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos:
A = 2(9) + 10
A = 18 + 10
A = 28
Quando A=9, o valor numérico de P=2A+10 é igual a 28.
Seja X = 4A + 2 + B - 7 e tomemos A=5 e B=7. Desse modo:
X = 4.(5) + 2 + 7 - 7
X = 20 + 2 - 0
X = 22
Quando A=5 e B=7, o valor numérico de X = 4A + 2 + B - 7, é igual a 28.
Seja Y = 18 - C + 9 + D + 8C, onde C=-2 e D=1. Então:
Y = 18 -(-2) + 9 + 1 + 8(-2)
Y = 18 + 2 + 9 + 1 -16
Y = 30 -16
Y = 14
Se C=-2 e D=1, o valor numérico de Y=18-C+9+D+8C, é 14.
Conclusão: O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido na expressão quando substituímos a variável por um valor numérico.
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Exemplos práticos
Lembrando-se que o triângulo eqüilátero é aquele que possui os três lados congruentes (mesma medida), calcular o perímetro de um triângulo equilátero cujo lado mede 5 cm.
Sugestão: O perímetro de um triangulo equilátero pode ser representado por uma expressão algébrica da forma: P=a+a+a=3a.
P = a + a + a = 3a
P = 3 x 5 cm
P = 15 cm
Calcular a área do quadrado cujo lado mede 7 cm.
Sugestão: A expressão algébrica da área do quadrado de lado L é: A = L x L = L2.
A = L x L
A = 7 x 7
A = 49 cm2
Observação: Se mudarmos o valor do lado para L=8 cm, o valor da área mudará.
A = L x L
A = 8 x 8
A = 64 cm2
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Exercícios:
Escreva expressões algébricas para representar o perímetro de cada uma das figuras abaixo:
Se a letra y representa um número natural, escreva a expressão algébrica que representa cada um dos seguintes fatos:
O dobro desse número
O sucessor desse número
O antecessor desse número (se existir)
A terça parte desse número somado com seu sucessor
Como caso particular do exercício anterior, tome y=9 e calcule o valor de cada expressão.
Calcular a área do trapézio ilustrado na figura ao lado, sabendo-se que esta área é dada pela (fórmula) expressão algébrica:
Área = (B + b) x h / 2
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Monômios e polinômios
São expressões matemáticas especiais envolvendo valores numéricos e literais, onde podem aparecer somente operações de adição, subtração ou multiplicação. Os principais tipos são apresentados na tabela:
Nome No. de
termos Exemplo
monômio um m(x,y) = 3 xy
binômio dois b(x,y) = 6 x2y - 7y
trinômio três f(x) = a x2 + bx + c
polinômio vários p(x)=aoxn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-1x + an
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Identificação das expressões algébricas
Muitas vezes as expressões algébricas aparecem na forma:
3x2y
onde se observa que ela depende das variáveis literais x e y, mas é importante identificá-las com nomes como:
p(x,y) = 3x2y
para deixar claro que esta é uma expressão algébrica que depende das variáveis x e y.
Esta forma de notação é muito útil e nos leva ao conceito de função de várias variáveis que é um dos conceitos mais importantes da Matemática.
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Valor numérico de uma expressão algébrica identificada
É o valor obtido para a expressão, ao substituir as variáveis literais por valores numéricos.
Exemplo: Se p(x,y)=3x2y, então para x=7 e y=2 temos que:
p(7,2) = 3 . 72. 2 = 294
Se alterarmos os valores de x e de y para x=-1 e y=5, teremos outro valor numérico:
p(-1,5) = 3 . (-1)2. 5 = 3 · 5 = 15
mas dependendo da mudança de x e de y, poderíamos ter o mesmo valor numérico que antes. Se x=-7 e y=2, teremos:
p(7,2) = 3 . (-7)2. 2 = 294
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A regra dos sinais (multiplicação ou divisão)
(+1) × (+1) = +1
(+1) × ( -1) = -1
( -1) × (+1) = -1
( -1) × ( -1) = +1
(+1) ÷ (+1) = +1
(+1) ÷ ( -1) = -1
( -1) ÷ (+1) = -1
( -1) ÷ ( -1) = +1
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Regras de potenciação
Para todos x e y em R-{0} e m e n números inteiros, tem-se que:
Propriedades Alguns exemplos
xo = 1(x diferente de zero) 5o = 1
xm xn = xm+n 52 . 54 = 56
xm ym = (xy)m 52 32 = 152
xm ÷ xn = xm-n 520 ÷ 54 = 516
xm ÷ ym = (x/y)m 52 ÷ 32 = (5/3)2
(xm)n=xmn (53)2 = 1252 = 15625 = 56
xm÷n = (xm)1/n 53÷2 = (53)1/2 = 1251/2
x-m = 1 ÷ xm 5-3 = 1 ÷ 53 = 1/125
x-m/n = 1 ÷ (xm)1/n 5-3/2 = 1 ÷ (53)1/2 = 1 ÷ (125)1/2
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Eliminação de parênteses em Monômios
Para eliminar os parênteses em uma expressão algébrica, deve-se multiplicar o sinal que está fora (e antes) dos parênteses pelo sinal que está dentro (e antes) dos parênteses com o uso da regra dos sinais.
Observação: Se o monômio não tem sinal, o sinal é o positivo. Se o monômio tem o sinal +, o sinal é o positivo.
Exemplo:
A = -(4x) + (-7x) = -4x - 7x = -11x
B = -(4x) + (+7x) = -4x + 7x = 3x
C = +(4x) + (-7x) = 4x - 7x = - 3x
D = +(4x) + (+7x) = 4x + 7x = 11x
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Operações com expressões algébricas de Monômios
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Adição ou Subtração de Monômios
Para somar ou subtrair de monômios, devemos primeiramente eliminar os parênteses e depois realizar as operações.
Exemplo:
A = -(4x) + (-7x) = -4x - 7x = -11x
B = -(4x) + (+7x) = -4x + 7x = 3x
C = +(4x) + (-7x) = 4x - 7x = -3x
D = +(4x) + (+7x) = 4x + 7x = 11x
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Multiplicação de Monômios
Para multiplicar monômios, deve-se primeiramente multiplicar os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de multiplicação dos sinais, multiplicar as potências literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:
Exemplo:
A = -(4x2y).(-2xy) = + 8 x3y2
B = -(4x2y).(+2xy) = - 8 x3y2
C = +(4x2y).(-2xy) = - 8 x3y2
D = +(4x2y).(+2xy) = + 8 x3y2
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Expressão algébrica Objeto matemático Figura
A = b x h Área do retângulo
A = b x h / 2 Área do triângulo
P = 4 a Perímetro do quadrado
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Elementos históricos
Na Antiguidade, as letras foram pouco usadas na representação de números e relações. De acordo com fontes históricas, os gregos Euclides e Aristóteles (322-384 a.C), usaram as letras para representar números. A partir do século XIII o matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci), que escreveu o livro sobre Liber Abacci (o livro do ábaco) sobre a arte de calcular, observamos alguns cálculos algébricos.
O grande uso de letras para resumir mais racionalmente o cálculo algébrico passou a ser estudado pelo matemático alemão Stifel (1486-1567), pelos matemáticos italianos Germano (1501-1576) e Bombelli (autor de Álgebra publicada em 1572), porém, foi com o matemático francês François Viéte (1540-1603), que introduziu o uso ordenado de letras nas analogias matemáticas, quando desenvolveu o estudo do cálculo algébrico.
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Expressões Numéricas
São expressões matemáticas que envolvem operações com números.
Exemplos
a = 7 + 5 + 4
b = 5 + 20 - 87
c = (6 + 8) - 10
d = (5 x 4) + 15
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Expressões algébricas
São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais.
Exemplos
A = 2a + 7b
B = (3c + 4) - 5
C = 23c + 4
As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor numérico.
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Prioridade das operações numa expressão algébrica
Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:
Potenciação ou Radiciação
Multiplicação ou Divisão
Adição ou Subtração
Observações:
Antes de cada uma das três operações citadas anteriormente, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.
A multiplicação pode ser indicada por x ou por um ponto . ou às vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão.
Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos.
Exemplos:
Consideremos P=2A+10 e tomemos A=5. Assim
P = 2(5) + 10
P = 10 + 10
P = 20
Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos:
A = 2(9) + 10
A =span>
Assim temos que o quadrado da soma de dois termos x e y, é a soma do quadrado do primeiro termo com o quadrado do segundo termo e com o dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo. Em resumo:
(x+y)2 = x2 + 2xy + y2
Exemplos:
(x + 8)2 = x2 + 2.x.8 + 82 = x2 + 16x + 64
(3k + y)2 = (3k)2 + 2.3k.y + y2 = 9k2 + 6ky + y2
(2x/5 + 1)2 = (2x/5)2 +2.(2x/5).1 + 12 = 4x2/25 + 4x/5 + 1
Exercícios: Desenvolver as expressões algébricas.
(a + 8)2 =
(4y + 2)2 =
(9k/8 + 3)2 =
Pensando um pouco:
Se (x + 7)2 = x2 + [ ] + 49, qual é o termo que deve ser colocado no lugar de [ ]?
Se (5a + [ ])2 = 25a2 + 30a + [ ], quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [ ]?
Se ([ ] + 9)2 = x2 + [ ] + 81, quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [ ]?
Se (4b + [ ])2 = l6b2 + 36b + [ ], substitua os [ ] por algo coerente.
Se (c + 8)2 = c2 + [?] + [??], substitua os [ ] por algo coerente.
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Quadrado da diferença de dois termos
Como um caso particular da situação anterior, o quadrado da diferença de x e y é igual ao quadrado de x somado com o quadrado de y menos duas vezes xy. Resumindo:
(x-y)2 = x2 - 2xy + y2
Exemplos:
(x - 4)2 = x2 - 2.x.4 + 42 = x2 - 8x + 16
(9 - k)2 = 92 - 2.9.k + k2 = 81 - 18k + k2
(2/y - x)2 = (2/y)2 - 2.(2/y).x + x2
Exercícios: Complete o que falta.
(5x - 9)2 =
(k - 6s)2 =
(p - [ ])2 = p2 - 10p + [ ]
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Produto da soma pela diferença de dois termos
Vamos utilizar o mesmo algoritmo já usado para o produto da soma de dois termos.
x + y
X x - y
-------------------
-xy - y2
x2 + xy
-------------------
x2 - y2
Compare
as
operações 10 + 3
X 10 - 3
-------------------
-30 - 9
100 + 30
-------------------
100 - 9
(1o)2 - (2o)2 = (1o+2o) . (1o-2o)
Em geral, o produto da soma de x e y pela diferença entre x e y é igual ao quadrado de x menos o quadrado de y.
(x+y)(x-y) = x2 - y2
Exemplo:
(x + 2)(x - 2) = x2 - 2x + 2x - 4 = x2 - 4
(g - 8)(g + 8) = g2 - 8g + 8g - 64 = g2- 64
(k - 20)(k + 20) = k2 - 400
(9 - z)(9 + z) = 81 - z2
Exercícios: Complete.
(6 - m)(6 + m) =
(b + 6)(b - 6) =
(6 + b)(b - 6) =
(6 + b)(6 - b) =
(100 - u)(100 + u) =
(u - 100)(100 + u)
